こんにちは,ぱいです.

無事進級できて4回生になりました.ほっとしてます.

 

このあいだ数学の講演をする機会があり,ペアノの公理から出発して自然数の和や積を定義する話をしました.

せっかくなので,ここにもそういう話を書いておこうと思います.

記事の最後の方に,講演会のノートのpdfも貼っておくつもりです.

 

 

さて,自然数といったら何を思い浮かべますか.

たぶん,「0,1,2,3,$dots$」と続いていくものというふうに思うと思います.

でも,じゃあ,「0,1,2,3,$dots$」と続いていくというのは数学的に言うとどういうことなのでしょうか.

自然数のこの特徴は,19世紀にイタリアの数学者ペアノによって次のように述べられました.つまり,次のペアノの公理と呼ばれるものをみたすものを自然数と呼ぶことにしました.

 

定義 (ペアノの公理). 集合 $mathbb{N}$ と $0$ と呼ばれるものと写像 $f:mathbb{N} omathbb{N}$ が次の4つをみたすとき,$(mathbb{N},0,f)$ はペアノの公理をみたすといい,$f(n)$ を $n$ の次の元と呼ぶ( $f(n)$ は $n+1$ のような気持ち).

 (i) $0inmathbb{N}$ である.

 (ii) $f$ は単射である.

 (iii) $0 otin f(mathbb{N})$ である.

 (iv) $Asubseteqmathbb{N}$ は $0in A, f(A)subseteq A$ なら $A=mathbb{N}$ となる.

 

これは,自然数というものが $0mapsto f(0)mapsto f(f(0))mapsto f(f(f(0)))mapstodots$ と順番に列のように並んだ感じに得られて,(ii)はまっすぐ並んでる横から変なものが割り込んでこないということを述べています.

(i)と(ii)は,その列の端っこが $0$ と呼ばれるものであるということを言っています.

(iv)は数学的帰納法のことです.

数学的帰納法とは何だったか思い出してみると,「条件 $P$ について,$n=0$ で $P$ が成り立ち,$n=k$ で $P$ が成り立てば $n=k+1$ でも $P$ が成り立つとき,任意の $ninmathbb{N}$ で $P$ が成り立つ」というものでした.

これは,$A={kinmathbb{N}mid n=k$ で $P$ が成立$}$とすると「$0in A, kin ARightarrow f(k)in A$」ということで,(iv)と同じであると分かります.

 ペアノの公理は英語で Peano Axioms というので,以下 P.A. と略します.

また,以下特にことわらない限り $(mathbb{N},0,f)$ は P.A. をみたすものとします. 

 

さて,ここで便利な定理を紹介しておきましょう.

 

定理1.集合 $X$ と元 $ain X$,写像 $g: X o X$ に対して,次のような写像 $varphi:mathbb{N} o X$ がただひとつ存在する.

 (i) $varphi(0)=a$ である.

 (ii) $varphi(k)$ まで定義されているとき,$varphi(f(k))=g(varphi(k))$ である.

 

証明の前に,この定理の意味を見てみましょう.

$X$ の世界で $g(x)$ を $x$ の次の元のようなものだと思ってこの定理を眺めてみると,(i)は $X$ の世界の端っこのようなものが $a$ であるということを,(ii)は $k$ の次の元は $varphi(k)$ の次の元のようなものに対応しているということを述べています.

では,証明をしていきましょう.

 

(証明)

まず,条件をみたす写像の存在を示す.

 $Asubseteqmathbb{N} imes X$ についての次の2つの条件を☆とする.

 (☆1) $(0,a)in A$ である.

 (☆2) $(k,x)in A$ なら $(f(k),g(x))in A$ である.

 ☆をみたす集合すべての共通部分を $B$ とする.

$B$は☆をみたすことがすぐわかるので,$B$は☆をみたす最小の集合である.(この事実を後で使うので△と呼ぶことにする.)

写像 $p:B omathbb{N}$ を $p( (n,x) ):=n$ で定める.

 

この $p$ が全射であるということを示す.

$p( (0,a) )=0$ より $0in p(B)$ である.また,$kin p(B)$ のときある $xin X$ で $(k,x)in B$ だから $(f(k),g(x))in B$ で $p( (f(k),g(x)) )=f(k)$ となるので $f(k)in p(B)$.よって,P.A.(iv)より $p(B)=mathbb{N}$ となる.

つまり $p$ は全射である.

 

次に,この $p$ が単射であることを示す.

そのためには,「$forall(k,x),(l,y)in B, p( (k,x) )=p( (l,y) )Rightarrow(k,x)=(l,y)$」つまり「$forall(k,x),(l,y)in B, k=lRightarrow (k,x)=(l,y)$」を示せばよい.つまり,「forall kinmathbb{N}, (k,x), (k,y)in BRightarrow x=y」を示せばよい.

そこで,$C:={kinmathbb{N}mid(k,x), (k,y)in BRightarrow x=y }$ とする.

$0in C$ を背理法で示す.

$0 otin C$ と仮定すると,ある $xin X$ で $(0,x)in B$ だけど $x eq a$ となる.

$B$ から $(0,x)$ を取り除いた集合を $B$ とすると,この $B$ も☆をみたすことがすぐわかる.

ところが $Bsubset B$ なのでこれは△に矛盾する.よって $0in C$ である.

さらに $kin CRightarrow f(k)in C$ も背理法で示す.

ある $kinmathbb{N}$ で $kin C$ だけど $f(k) otin C$ となると仮定する.

$p$ は全射だったから $k$ に対してある $xin X$ で $(k,x)in B$ となり,$(f(k),g(x))$ である.

今 $f(k) otin C$ だから,ある $y eq g(x)$ で $(f(k), y)in B$ となる.

$B$ から $(f(k),y)$ を取り除いた集合を $B$ とする.

$B$ は $B$ より小さいので,△より,$B$ は☆をみたさない.

P.A.(iii)より $0 eq f(k)$ なので,$(0,a)in B$ で(☆1)はみたされている.よって,$B$ は(☆2)をみたさない.つまり,ある $(h,z)inmathbb{N} imes X$ で $(h,z)in B$ だけど $(f(h),g(z)) otin B$ となる.ところで $(h,z)in B$ より $(f(h),g(z))in B$ で,$B$ から取り除いた元は $(f(k),y)$ だけだったから,$(f(h),g(z))=(f(k),y)$ である.P.A.(ii)より $f$ は単射だから $h=k$ となり,今 $kin C$ だったから $x=z$ となる.よって $g(x)=g(z)$ となるが,$g(z)=y$ と $y eq g(x)$ は矛盾する.

したがって $kin CRightarrow f(k)in C$ となる.

よって,P.A.(iv)より $C=mathbb{N}$ となる.つまり $p$ は単射である.

 

以上から $p$ は全単射で,逆写像 $p^{-1}$ が存在する.

$q: B o X$ を $q( (n,x) ):=x$ で定めて,$varphi:mathbb{N} o X$ を $varphi:=p^{-1}circ q$ とする.

つまり,$varphi(n)$ とは,$(n,x)in B$ となる $x$ のことである.

$p( (0,a) )=0$ より $varphi(0)=a$ である.

また,$varphi(k)$ まで定義されているとき $(k,varphi(k))in B$ より $(f(k),g(varphi(k)))in B$ より $varphi(f(k))=g(varphi(k))$ である.

つまりこの $varphi$ は定理の条件をみたしている.

 

今度は,このような写像がひとつしか存在しないことを示す.

$varphi$ と $varphi$ がともに定理の条件をみたしているとする.

$varphi=varphi$ となることを示せばよい.つまり,$forall ninmathbb{N}, varphi(n)=varphi(n)$ を示せばよい.

そこで,$D:={ninmathbb{N}midvarphi(n)=varphi(n) }$ とする.

$varphi(0)=a, varphi(0)=a$ より $0in D$ である.

$nin D$ のとき $varphi(f(n))=g(varphi(n))=g(varphi(n))=varphi(f(n))$ より $f(n)in D$ となる.

よって,P.A.(iv)より $D=mathbb{N}$ となる.$■$

 

この定理は便利なので後でよく使います.

 

さて,ペアノの公理をみたす $mathbb{N}$ の元を自然数と呼ぼうということでしたが,そのような集合がいろいろあったら困りますよね.思い浮かべてる自然数が人によって違ったら不便です.

でも,ペアノの公理をみたす集合は本質的にひとつしか存在しないということが次の定理によって分かり,安心できます.

 

定理2.$(mathbb{N},0,f)$ と $(mathbb{N},0,f)$ がともにP.A.をみたすとき,次のような全単射 $varphi:mathbb{N} omathbb{N}$ がただひとつ存在する.

 (i) $varphi(0)=0$ である.

 (ii) $varphi(k)$ まで定義されているとき $varphi(f(k))=f(varphi(k))$ である.

 

(証明)

$varphi$ の存在と一意性は,定理1で $X=mathbb{N},a=0,g=f$ とすればよい.

また,同じようにして,次のような写像 $varphimathbb{N} omathbb{N}$ の存在も分かる.

 (i) $varphi(0)=0$ である.

 (ii) $varphi(k)$ まで定義されているとき $varphi(f(k))=f(varphi(k))$ である.

さて,$A:={ninmathbb{N}midvarphi(varphi(n))=n }$ とする.

$varphi(varphi(0))=varphi(0)=0$ より $0in A$ である.

$nin A$ のとき $varphi(varphi(f(n)))=varphi(f(varphi(n)))=f(varphi(varphi(n)))=f(n)$ より $f(n)in A$ となる.

以上よりP.A.(iv)より $A=mathbb{N}$ となる.同様にして,${ninmathbb{N}midvarphi(varphi(n))=n }=mathbb{N}$ となる.

よって$varphi$ は $varphi$ の逆写像である.

したがって$varphi$ は全単射である.$■$

 

定義(自然数).ペアノの公理をみたす $mathbb{N}$ の元を自然数と呼ぶ.

 

さて,無事に自然数が定義できたので,今度は足し算を定義していきましょう.

そのために,まずは次の定理を見てみましょう.

 

定理3.各 $ninmathbb{N}$ に対して,次のような写像  $σ_{n}:mathbb{N} omathbb{N}$ がただひとつ存在する.

 (i) $σ_{n}(0)=n$ である.

 (ii) $σ_{n}(k)$ まで定義されているとき $σ_{n}(f(k))=f(σ_{n}(k))$ である.

 

(証明)

定理1で $X=mathbb{N},a=n,g=f$とすればよい.$■$

 

これは,$σ_{m}(n)$ で $m+n$ を定義しようという気持ちのものです.

そういう気持ちでこの定理を眺めてみると,(i)は $n$ に $0$ を足しても $n$ のままということを,(ii)は $n$ に $k$ の次の元を足すと $n+k$ の次の元と同じになるということを述べていると分かります.

では,この写像が普通の足し算っぽい基本的な性質をきちんとみたしてくれているか確認してみましょう.

 

定理4.任意の $l,m,ninmathbb{N}$ で次が成り立つ.

 (i) (結合法則) $σ_{σ_{l}(m)}(n)=σ_{l}(σ_{m}(n))$

 (ii) (交換法則) $σ_{m}(n)=σ_{n}(m)$

 (iii) (簡約法則) $σ_{l}(n)=σ_{m}(n)Rightarrow l=m $

 

(証明)

(i)

各 $l,minmathbb{N}$ に対して $A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid σ_{σ_{l}(m)}(n)=σ_{l}(σ_{m}(n)) }$ とする.

egin{eqnarray}σ_{σ_{l}(m)}(0)&=&σ_{l}(m)&=&σ_{l}(σ_{m}(0))end{eqnarray}

より $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき,

egin{eqnarray}σ_{σ_{l}(m)}(f(n))&=&f(σ_{σ_{l}(m)}(n))&=&f(σ_{l}(σ_{m}(n)))&=&σ_{l}(f(σ_{m}(n)))&=&σ_{l}(σ_{m}(f(n)))end{eqnarray}

より $f(n)in A_{l,m}$ である.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる.

 

(ii)

$A:={ninmathbb{N}mid σ_{n}(0)=σ_{0}(n) }$ とする.

当然 $0in A$ である.

また, $nin A$ のとき

egin{eqnarray}σ_{f(n)}(0)&=&f(n)&=&f(σ_{n}(0))&=&f(σ_{0}(n))&=&σ_{0}(f(n))end{eqnarray}

より $f(n)in A$ となる.

よってP.A.(iv)より $A=mathbb{N}$ となる.

また,$B:={ninmathbb{N}mid σ_{n}(f(0))=σ_{f(0)}(n) }$ とする.

$f(0)in A$ より $0in B$ である.

また, $nin B$のとき

egin{eqnarray}σ_{f(n)}(f(0))&=&f(σ_{f(n)}(0))&=&f(f(n))&=&f(f(σ_{n}(0)))&=&f(σ_{n}(f(0)))&=&f(σ_{f(0)}(n))&=&σ_{f(0)}(f(n))end{eqnarray}

より $f(n)in B$ となる.

よってP.A.(iv)より $B=mathbb{N}$ となる.

さて,各 $ninmathbb{N}$ に対して $C_{n}:={minmathbb{N}mid σ_{m}(n)=σ_{n}(m) }$ とする.

$A=mathbb{N}$ より $0in B_{n}$ である.

また,$min B_{n}$ のとき

egin{eqnarray}σ_{f(m)}(n)&=&σ_{σ_{m}(f(0))}(n)&=&σ_{m}(σ_{f(0)}(n))&=&σ_{m}(σ_{n}(f(0)))&=&σ_{σ_{m}(n)}(f(0))&=&σ_{σ_{n}(m)}(f(0))&=&σ_{n}(σ_{m}(f(0))&=&σ_{n}(f(m))end{eqnarray}

より $f(m)in C_{n}$ となる.

よってP.A.(iv)より $C_{n}=mathbb{N}$ となる.

 

(iii)

対偶「$l eq mRightarrow σ_{l}(n) eq σ_{m}(n) (ninmathbb{N})$」を示す.

$l eq m$ なる $l,minmathbb{N}$ を任意にとり,$A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid σ_{l}(n) eqσ_{m}(n) }$ とする.

まず,$σ_{l}, σ_{m}$ の定義から $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき $f$ は単射だから $f(σ_{l}(n)) eq f(σ_{m}(n))$ つまり $σ_{l}(f(n)) eq σ_{m}(f(n))$ となり $f(n)in A_{l,m}$ となる.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる. $■$

 

定義(自然数の和).$σ_{m}(n)$ を $m $ と $n$ の和と呼び,$m+n$ と略記する.

 

これでようやく胸を張って自然数の足し算を扱えるようになりました.

同じように自然数の掛け算も定義してみましょう.

 

定理5.各 $ninmathbb{N}$ に対して,次のような写像 $pi_{n}:mathbb{N} omathbb{N}$ がただひとつ存在する.

 (i) $pi_{n}(0)=0$ である.

 (ii) $pi_{n}(k)$ まで定義されているとき $pi_{n}(f(k))=σ_{n}(pi_{n}(k))$ つまり $pi_{n}(k+1)=pi_{n}(k)+n$ である.

 

(証明)

定理1で $X=mathbb{N}, a=0, g=σ_{n}$ とすればよい. $■$

 

これも,$pi_{m}(n)$ によって積 $mcdot n$ を定義したいという気持ちの定理です.

では,最後にこの写像が自然数の掛け算っぽく振る舞ってくれることを確認しましょう.

(もう足し算は普通に扱えることになったので,面倒なので+という記号を使います.

また,$f(0)$ のことを $1$ と略記します.)

 

定理6.任意の $l,m,ninmathbb{N}$ で次が成り立つ.

 (i) (分配法則) $pi_{l}(m+n)=pi_{l}(m)+pi_{l}(n)$

 (ii) (結合法則) $pi_{pi_{l}}(m)(n)=pi_{l}(pi_{m}(n))$

 (iii) (交換法則) $pi_{m}(n)=pi_{n}(m)$

 

(証明)

(i)

各 $l,minmathbb{N}$ に対して $A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid pi_{l}(m+n)=pi_{l}(m)+pi_{l}(n) }$ とする.

$pi_{l}(m+0)=pi_{l}(m), pi_{l}(m)+pi_{l}(0)=pi_{l}(m)+0=pi_{l}(m)$ より $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき

egin{eqnarray}pi_{l}(m+(n+1))&=&pi_{l}*1+l&=&pi_{l}(m)+(pi_{l}(n)+l)&=&pi_{l}(m)+pi_{l}(n+1)end{eqnarray}

より $n+1in A_{l,m}$ となる.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる.

 

(ii)

各 $l,minmathbb{N}$ に対して $A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid pi_{pi_{l}(m)}(n)=pi_{l}(pi_{m}(n)) }$ とする.

$pi_(pi_{l}(m))(0)=0, pi_{l}(pi_{m}(0))=pi_{l}(0)=0$ より $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき

egin{eqnarray}pi_{pi_{l}(m)}(n+1)&=&pi_{pi_{l}(m)}(n)+pi_{l}(m)&=&pi_{l}(pi_{m}(n))+pi_{l}(m)&=&pi_{l}(pi_{m}(n)+m)&=&pi_{l}(pi_{m}(n+1))end{eqnarray} 

より $n+1in A_{l,m}$ となる.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる.

 

(iii)

まず $A:={ninmathbb{N}mid pi_{0}(n)=0 }$ とする.

当然,$0in A$ である.

また,$nin A$ のとき

egin{eqnarray}pi_{0}(n+1)&=&pi_{0}(n)+0&=&0end{eqnarray}

より $n+1in A$ となる.

よってP.A.(iv)より $A=mathbb{N}$ となる.

また,各 $ninmathbb{N}$ に対して $B_{n}:={minmathbb{N}mid pi_{n+1}(m)=pi_{n}(m)+m }$ とする.

当然,$0in B_{n}$ である.

また,$min B_{n}$ のとき,

egin{eqnarray}pi_{n+1}(m+1)&=&pi_{n+1}(m)+(n+1)&=&(pi_{n}(m)+m)+(n+1)&=&(pi_{m}(n)+n)+(m+1)&=&pi_{n}(m+1)+(m+1)end{eqnarray} 

より $m+1in B_{n}$ となる.

よってP.A.(iv)より $B_{n}=mathbb{N}$ となる.

さて,各 $ninmathbb{N}$ に対して $C_{n}:={minmathbb{N}mid pi_{m}(n)=pi_{n}(m) }$ とする.

$A=mathbb{N}$ より $0in C_{n}$ である.

また,$min C_{n}$ のとき,

egin{eqnarray}pi_{m+1}(n)&=&pi_{m}(n)+n&=&pi_{n}(m)+n&=&pi_{n}(m+1)end{eqnarray} 

より $m+1in C_{n}$ となる.

よってP.A.(iv)より $C_{n}=mathbb{N}$ となる. $■$

 

定義(自然数の積).$pi_{m}(n)$ を  $m $ と $n$ の積と呼び,$mcdot n$ や $mn$ と記す.

 

これで自然数の掛け算も使えるようになりました.

自然数には他にも大小関係とかいろんな構造が入っているので,暇なときに考えてみると楽しいかもしれません.

 

最後に,講演会で話したやつ(高校生向けに,自然数を $1$ からスタートした)のノートを置いておきます. 

(ドロップボックスのアカウント持ってないと見れないかも)

www.dropbox.com

 

参考文献

彌永昌吉(1972) 『数の体系(上)』 岩波新書.

 

 

*1:m+n)+1)&=&pi_{l}(m+n)+l&=&(pi_{l}(m)+pi_{l}(n

 

想像してください、夜のミドリムシを。

 

ミドリムシは、太陽の光を受けて光合成し、

生きるのに必要な栄養成分を得ているのです。

 

動物にも「夜行性」というのはいますが、

人間は「夜行性」ではありません。

太陽の光を浴びて、健康でいられるのです。

 

本来の生き方に反して、「夜行性」となってしまった人間は、

一体どうなるんでしょう・・・

 

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ボーカルも入って気合いが入っています

テンション上がる歌で盛り上がりますね( *´艸`)

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加納麻衣ちゃん関連ツイート(動画、画像)Part27 です。

はい。文化の日ですね。

本日わたくしは、文化の日まったく関係ない車で1時間のショッピングモールに行ってまいりました。

久しぶりに家族で出かけた。

そして久しぶりのカラオケだった。

syrup16gの「手首」を歌ったら母親にドン引きされました。ま、そりゃそうか。

いまサウンドハウスでマイクケーブルと変換アダプタを頼んでるんですけど、
そのショッピングモールの中にある楽器店に両方そろっててがーん。

頼むまでもなかった。

イエイ。

明日頑張ったらまた休みだぁ。

あ、土曜日クソ強い学校との練習試合じゃん。

骨折痛い!

2018/03/10

鎖骨を骨折しました。

f:id:wonder1ace:20170302080521j:image

 

私ではないです。

主人です。

 

飲み会に自転車で行って、帰ってきたら

血まみれなので、どうしたことかと。

 

酔っ払って、転倒したらしい! 

 

翌日、病院でレントゲン検査したら、上が折れていることが判明しました。

 

阿呆というか、自業自得ですよね。

 

仕方がないので、ブログのネタにしていきます。

Twitter timeline from Wed,Apr 30 to Wed,Apr 30[28]

DATE: 2014/04/30 21:40

http://twitter.com/iPhoone3G/status/461485136673267712

国会議員の給料・年収額はいくら? http://t.co/1qjJyYeiNz

DATE: 2014/04/30 21:38

http://twitter.com/iPhoone3G/status/461484624074772480

覆面パトカーの見分け方、見極め・見破る方法 - はてなで泣いた http://t.co/goKuBe9QkS

DATE: 2014/04/30 21:36

http://twitter.com/iPhoone3G/status/461484130577170432

東京ディズニーリゾート、今後10年間で5000億円の投資を計画。オリエンタルランド。5000億円だと何ができる? - はてなで泣いた http://t.co/eRaZPbcKPo

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陣内孝則が人生初のノーバン始球式 - はてなで泣いた http://t.co/3piPFNQDwo

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iOS7 メモリ開放アプリ iPhone5S以降で使える「iMemoryGraph」 - はてなで泣いた http://t.co/NlHfYLk0SI

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DATE: 2014/04/30 20:27

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篠原涼子主演ドラマ「アンフェア」の娘・美央役の子は、今AKB48のチーム4で、大島優子からの指名でヘビーローテーションでセンターを務めている - はてなで泣いた http://t.co/xifmBgJQIB

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はてなブログに投稿しました篠原涼子主演ドラマ「アンフェア」の娘・美央役の子は、今AKB48のチーム4で、大島優子からの指名でヘビーローテーションでセンターを務めている - はてなで泣いた http://t.co/lSThBTuV95

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DATE: 2014/04/30 20:00

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HISがハウステンボスで無人島の取得を検討 - はてなで泣いた http://t.co/ngWJrFtAvo

DATE: 2014/04/30 17:52

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iPhoneパスコードロック解除を連続して失敗し続けるとどうなるか?【iPhone/iPad 使い方の基本】 - はてなで泣いた http://t.co/bYHqfserBm

DATE: 2014/04/30 17:51

http://twitter.com/iPhoone3G/status/461427582483701760

iPhoneで音を鳴らさずバイブレーションのみで無音アラームを設定する方法。電車での目覚ましに。マナーモードでも音が鳴るiPhone!無音の着信音で解決。 - はてなで泣いた http://t.co/lR36mfid1K

DATE: 2014/04/30 16:38

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JTB社員が遠足のバスを手配し忘れ、それを隠すため生徒になりすまし、自殺をほのめかす手紙を学校へ送り遠足を中止させようとした - はてなで泣いた http://t.co/qoqjkeCKPo

DATE: 2014/04/30 16:38

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人間をころしている数が多い動物ランキング。1位はなんと・・ - はてなで泣いた http://t.co/JcQQgHaUZ0

DATE: 2014/04/30 16:37

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鉄道の振替乗車とは?意味・仕組み・方法、PASMO・Suica・切符・定期、JR。どこにもタダで行けるわけではない。 - はてなで泣いた http://t.co/34fqPeBFIo

DATE: 2014/04/30 16:26

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はてなブログに投稿しましたJTB社員が遠足のバスを手配し忘れ、それを隠すため生徒になりすまし、自殺をほのめかす手紙を学校へ送り遠足を中止させようとした - はてなで泣いた http://t.co/Pkz8zYJilO

DATE: 2014/04/30 16:21

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はてなブログに投稿しました人間をころしている数が多い動物ランキング。1位はなんと・・ - はてなで泣いた http://t.co/MSuFdr6CAe

DATE: 2014/04/30 15:30

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はてなブログに投稿しました鉄道の振替乗車とは?意味・仕組み・方法、PASMO・Suica・切符・定期、JR。どこにもタダで行けるわけではない。 - はてなで泣いた http://t.co/aksZ3xwDge

DATE: 2014/04/30 12:16

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デブに捧げるアナと雪の女王「Let it go」の替え歌!「デブの肉が増量」「一生・FAT・よー 〜デブのままで〜」 - はてなで泣いた http://t.co/8xCTIrvLtR

DATE: 2014/04/30 12:14

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未来警察ウラシマン・オープニングテーマ曲 OP・YouTube動画 - はてなで泣いた http://t.co/Umrk1gnIHU

DATE: 2014/04/30 12:12

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ドラゴンクエスト・勇者アベル伝説・エンディングテーマ曲・徳永英明・「夢を信じて」 - はてなで泣いた http://t.co/7eXIijfUJg

DATE: 2014/04/30 12:10

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国会議員の給料・年収額はいくら? - はてなで泣いた http://t.co/OejCpfpgWL

DATE: 2014/04/30 09:04

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【4月30日今日の一言】漫画の名セリフを英語で言うと…『GIANT KILLING』 - TOEIC初心者からの730点取得対策ブログ http://t.co/Zz2jetdkcK

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 水玉模様 水玉 水中 水色 背景

 

年休な一日

2018/03/02

喉が痛くて1日寝てました。

夜、テレビをつけたらカーリングやってたんで寝ながら観戦。

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予選リーグ4連勝とか、日本すごい。

では。

 みなと銀行が26日に発表した2016年4〜6月期の連結決算は、純利益が前年同期比41%増の22億円だった。前年同期に4億500万円を計上した一般貸倒引当金がなくなるなど、与信関係費用の減少が寄与した。

 収入を示す経常収益は1%減の157億円だった。日銀のゼロ金利政策を背景に市場金利が低下し、貸出金利息が減少するなど運用収益が減少した。役務取引等利益も減少したことで、総じて減収になった。

 年5円の配当計画と2017年3月期の連結業績予想は据え置いた。今期の純利益は1%増の74億円を見込む。