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2018/07/06

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パブリックスペースにポツンとある、一脚のベンチ。

複数だとケンカになるし一人だと目立つね。

社会を考えるのは偽善?

ぼくは政治の話や社会問題の話が好きで、極力相手を選んではいるものの、話す相手によっては空気の読めない人認定されたりする。基本的にこれらの話は「偽善的」であると思われる事が多く、このことを常日頃不思議に思っている。

なぜ社会のことを考えるのが偽善的なのだろうか。

例えば発展途上国の恵まれない子どもの話。「そいつらがどうなったって知った事か、関係ないし」と言われれば、たしかに、直接関係ないかもしれない。そうか、自分たちに直接関係ない、被害者でも加害者でもない事について説教されれば、確かに鬱陶しいかもしれない。自分に関係ない事にがんばれる人を偽善と感じる気持ちについてはわからなくはない。

じゃあ例えば来月選挙が行われる東京都知事選挙の話。「誰が知事になったって、関係ないし」という声が聞こえてきそうだけど、果たして本当に関係ないだろうか。

有力候補の舛添氏の過去発言を拾ってみると、

消費税を15%まであげるべきとか

残業代はいっさいなしの法案作ろう、「残業代が出なかったら、あほらしくてさっさと家に帰るインセンティブ(誘因)になる」とか言ってるわけで。

消費税が8%に上がるだけでも嫌なのに、15%まで上がるのなんか嫌だ。8%になっただけでも、一般的な家庭なら1年で10万円前後の負担増になるという見方が強いらしい。10万円もあったら、ちょっとした旅行やレジャーに出かけてみたり、趣味への投資をしてみたり、子供の習い事をさせてみたり、、と色々な想像をする事ができる。

残業の話にしたって、さっさと家に帰れるような職場の仕組みや雰囲気なら過労死はもともと起きないはず。こんな法案が通ったら残業代は出ないのに、サービス残業を無言のプレッシャーで強いられる人々が続出する光景がありありと浮かぶ。

これって十分に自分たちに関係ある事じゃないだろうか。

正義のためではなく、自分のために

ぼくは善悪の判断ではなく、自分のために政治や社会問題を考えたい。ちゃんと考えないと、知らない間に税金や年金の負担額が上がったりする。それ以外にも不都合なことが起きる可能性がある。

「知ったところでどうしようもないだろ」という声をよく聞く。ほんとうにどうしようもないのだろうか。

現在、若者に比べて年配の方々のほうが投票に行く人数が多い。法律を作るのが仕事である政治家は票が無ければ当選できない。したがって、投票する人のための法律を作りますよ、という態度をとるしかない。

高齢者の票がどのくらい多いかというと、60歳以上だけで4割くらいの票が手に入る。39歳以下の有権者のことなんか切り捨てて、40代以上の人だけのことを考えてれば7割以上の票が手に入るとあればそりゃあ高齢者向けの法律が多くなるのは自然だ。

大学時代からたまにお手伝いさせていただいてる国会議員の方も「けっきょく陳情に来るのは高齢者なので対応せざるを得ない」という。

でも、高齢者は自分たちに都合が良い法律をつくって欲しいから投票に行く。これって自己中心的なのだろうか。断じて違う。民主主義というシステム下では、各々が自分の利益を主張してその落としどころをみつけるものである。

和を尊ぶ社会で生きてきた我々は、自己中心的という言葉に快い響きを感じないが、社会の中で生きていく上で譲ってばかりいられない一線が存在する。それなのに政治や社会問題を偽善的と捉えて参加を放棄しているのは、怠慢でしかない。

本当に自分の利益を考えて行動するべきだ。社会のためでなく、自分のために、自分がどんな状況におかれているかを考えることが必要だ。
これが利己主義のすすめ。

例えば今からでもできること、ぼくがやろうと思っている事

じゃあ何ができるんだよ?と思った方へ。まずは自分がどんな要望を持っているのかを把握する。そしてそういった要望を各地方自治体であったり、自分の住んでいる選挙区の政治家に提案してみてもいいだろう。政治家の側も票は喉から手が出る欲しいので、例えば友達や家族などの有権者5人でも集めれば、丁寧に対応してくれる可能性は高いだろう。

ぼくは自分の利益を考えた結果、若年層の投票率を上げる事が自分の利益につながると考えているので、「政治や社会問題がぼくら|わたしらにどう関係あるの?」という問いの答えにつながるようなエントリを、このリコシュギブログに上げていく。

ちきりんは自分のアタマで考えようと言っててその通りだと思ったけど、その前に。
恵まれない人々のためでも、世界平和のためでも、環境破壊が進む地球のためでもなく、自分のために考えるところからはじめて欲しい。

ぼくは正義の味方になりたいのではなく、ただ自分の生活を守りたいだけだ。

週末ToDo

2018/07/03

アキバ

  • USB-ACアダプタ1コ
  • 中古デジタル一眼レフ下見@ソフマップ
    • or 即買

長津田

  • その後の動向をウォッチしてみる。

買ったけど書くの忘れてた

補完シーン大増量

7話冒頭からいきなり漫画版だけのシーンが盛りだくさん。
テッシーとサヤちんがちょっと楽しそうなシーンとかもある
なにより特筆すべきは最終話(9話)。
三葉が東京でテッシーとサヤちんに会ってたり(瀧のバイト先、漫画だと外見が木組みカフェぐらいの天井の高さになってるけど)、おばあちゃんと四葉は一緒に住んでて勝手に三葉にお見合いさせたがってたりしてる
ここのシーンは割と面白いからおすすめ

またベタ塗り

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2巻に引き続き見開き真っ黒が1箇所。
ちなみに2巻の画像はこっち
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(画像編集とかではない)

わかるけど!1回シーン分断したいのはわかるけど!!
どうなの!?

何はともあれ面白い

さすがに映画ぐらい面白いって言うと嘘になるけど補完シーンとかもあって映画とはまた違う面白さがあっていいです
BD出る前に1回さくっと読むのもいいかも

君の名は。 3 (MFコミックス アライブシリーズ)

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狐鍬が折れた

2018/07/03

昨年の9月に買った狐鍬。

使い方が悪かったのか、畑の草が固すぎたのか、1週間で破損。

あれから約8ヶ月。だましだまし使ってたのですが。

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遂に臨界点を突破。

まぁ、壊れたのは柄の部分なので付け替えればいいはずなんだけど。。。ちょっと調べよう。

(。・ω・)ノシ

杉ノ沢ダム

2018/07/03

3/13、秋田県横手市、杉ノ沢ダムに行ってきました。


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遠くに堤体が見える。
アースダム*1。
しかし、そこに行く道は除雪がされておらず、遠くから眺めるだけとなった。

*1:おもに土を使って造られたダム、規模は小さく貯水池や調整池として使用されることが多い

朝起きたら結婚指輪をしていた左手薬指が紫色になっていて、

微動だにしないまま指がどんどんまずい色になっていき、

あえなく夫にニッパーで切られて数か月。

金属アレルギーだったのか、主婦湿疹になった指もやっと治り、

季節も涼しくなってきたので、

結婚指輪を購入したお店へ修理を依頼しに訪問。

過去にも何度か郵送にて修理を依頼したことがある。

「メレダイヤが外れた!」とか

「サイズアップしてくださいー」とか…。

今回は実家へ行くついでに寄ったものの

道が変わってしまっていて、全くわからない。

土地勘のなさでは、故郷とは名ばかりで夫と同じレベル。

一方通行なので道を通り過ぎて、ぐるーっと回って…を

数回繰り返してたどり着いた。

営業のお兄さん、お姉さんたちは行くたびに毎回一新されていて

誰一人知っている人はいませんが、

職人のおじさんだけは10年前から変わらない。

「朝起きたら指がむくんでいて、外れなくて

指の色もすごかったのでカットしました」と私が話すと、

これはどこでカットを?と職人さん。

はい?うちの夫にしてもらいましたが…

「ご主人、うまいなぁ~!

良いところを切っている。ベストポジション!」と。

石のところでも刻印のところでもなく、

またカーブでもない、修理しやすいところだったとか。

消防署で切ってもらった指輪が持ち込まれることもよくあるようで、

なんでここを切るかな?というど真ん中が切られていたり、

石が無残になっていたり、と大変らしい。

その点、うちの夫はベストな位置でカットしたらしい。

「修理に出すなら、ここが一番修復しやすいと思ったんです」と

うちの夫も満更でもなさそう。

「こんなによく切れる工具が家に?」

と職人さんはなおも道具にまで質問し、

「職業柄、工具だけは家に各種あって…」と

なんだかガッチリ握手しそうな勢いだった。

私の結婚指輪、今回は有償だったけれど、

修理されて10日後くらいに戻ってくるらしい。

私のカルテ、3,4枚の紙が貼られてあって、

ほぼ「サイズアップ依頼」でした。。。

最初はどれだけ細かったのか…

もう一番下を見る勇気はない。

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こんにちは,ぱいです.

無事進級できて4回生になりました.ほっとしてます.

 

このあいだ数学の講演をする機会があり,ペアノの公理から出発して自然数の和や積を定義する話をしました.

せっかくなので,ここにもそういう話を書いておこうと思います.

記事の最後の方に,講演会のノートのpdfも貼っておくつもりです.

 

 

さて,自然数といったら何を思い浮かべますか.

たぶん,「0,1,2,3,$dots$」と続いていくものというふうに思うと思います.

でも,じゃあ,「0,1,2,3,$dots$」と続いていくというのは数学的に言うとどういうことなのでしょうか.

自然数のこの特徴は,19世紀にイタリアの数学者ペアノによって次のように述べられました.つまり,次のペアノの公理と呼ばれるものをみたすものを自然数と呼ぶことにしました.

 

定義 (ペアノの公理). 集合 $mathbb{N}$ と $0$ と呼ばれるものと写像 $f:mathbb{N} omathbb{N}$ が次の4つをみたすとき,$(mathbb{N},0,f)$ はペアノの公理をみたすといい,$f(n)$ を $n$ の次の元と呼ぶ( $f(n)$ は $n+1$ のような気持ち).

 (i) $0inmathbb{N}$ である.

 (ii) $f$ は単射である.

 (iii) $0 otin f(mathbb{N})$ である.

 (iv) $Asubseteqmathbb{N}$ は $0in A, f(A)subseteq A$ なら $A=mathbb{N}$ となる.

 

これは,自然数というものが $0mapsto f(0)mapsto f(f(0))mapsto f(f(f(0)))mapstodots$ と順番に列のように並んだ感じに得られて,(ii)はまっすぐ並んでる横から変なものが割り込んでこないということを述べています.

(i)と(ii)は,その列の端っこが $0$ と呼ばれるものであるということを言っています.

(iv)は数学的帰納法のことです.

数学的帰納法とは何だったか思い出してみると,「条件 $P$ について,$n=0$ で $P$ が成り立ち,$n=k$ で $P$ が成り立てば $n=k+1$ でも $P$ が成り立つとき,任意の $ninmathbb{N}$ で $P$ が成り立つ」というものでした.

これは,$A={kinmathbb{N}mid n=k$ で $P$ が成立$}$とすると「$0in A, kin ARightarrow f(k)in A$」ということで,(iv)と同じであると分かります.

 ペアノの公理は英語で Peano Axioms というので,以下 P.A. と略します.

また,以下特にことわらない限り $(mathbb{N},0,f)$ は P.A. をみたすものとします. 

 

さて,ここで便利な定理を紹介しておきましょう.

 

定理1.集合 $X$ と元 $ain X$,写像 $g: X o X$ に対して,次のような写像 $varphi:mathbb{N} o X$ がただひとつ存在する.

 (i) $varphi(0)=a$ である.

 (ii) $varphi(k)$ まで定義されているとき,$varphi(f(k))=g(varphi(k))$ である.

 

証明の前に,この定理の意味を見てみましょう.

$X$ の世界で $g(x)$ を $x$ の次の元のようなものだと思ってこの定理を眺めてみると,(i)は $X$ の世界の端っこのようなものが $a$ であるということを,(ii)は $k$ の次の元は $varphi(k)$ の次の元のようなものに対応しているということを述べています.

では,証明をしていきましょう.

 

(証明)

まず,条件をみたす写像の存在を示す.

 $Asubseteqmathbb{N} imes X$ についての次の2つの条件を☆とする.

 (☆1) $(0,a)in A$ である.

 (☆2) $(k,x)in A$ なら $(f(k),g(x))in A$ である.

 ☆をみたす集合すべての共通部分を $B$ とする.

$B$は☆をみたすことがすぐわかるので,$B$は☆をみたす最小の集合である.(この事実を後で使うので△と呼ぶことにする.)

写像 $p:B omathbb{N}$ を $p( (n,x) ):=n$ で定める.

 

この $p$ が全射であるということを示す.

$p( (0,a) )=0$ より $0in p(B)$ である.また,$kin p(B)$ のときある $xin X$ で $(k,x)in B$ だから $(f(k),g(x))in B$ で $p( (f(k),g(x)) )=f(k)$ となるので $f(k)in p(B)$.よって,P.A.(iv)より $p(B)=mathbb{N}$ となる.

つまり $p$ は全射である.

 

次に,この $p$ が単射であることを示す.

そのためには,「$forall(k,x),(l,y)in B, p( (k,x) )=p( (l,y) )Rightarrow(k,x)=(l,y)$」つまり「$forall(k,x),(l,y)in B, k=lRightarrow (k,x)=(l,y)$」を示せばよい.つまり,「forall kinmathbb{N}, (k,x), (k,y)in BRightarrow x=y」を示せばよい.

そこで,$C:={kinmathbb{N}mid(k,x), (k,y)in BRightarrow x=y }$ とする.

$0in C$ を背理法で示す.

$0 otin C$ と仮定すると,ある $xin X$ で $(0,x)in B$ だけど $x eq a$ となる.

$B$ から $(0,x)$ を取り除いた集合を $B$ とすると,この $B$ も☆をみたすことがすぐわかる.

ところが $Bsubset B$ なのでこれは△に矛盾する.よって $0in C$ である.

さらに $kin CRightarrow f(k)in C$ も背理法で示す.

ある $kinmathbb{N}$ で $kin C$ だけど $f(k) otin C$ となると仮定する.

$p$ は全射だったから $k$ に対してある $xin X$ で $(k,x)in B$ となり,$(f(k),g(x))$ である.

今 $f(k) otin C$ だから,ある $y eq g(x)$ で $(f(k), y)in B$ となる.

$B$ から $(f(k),y)$ を取り除いた集合を $B$ とする.

$B$ は $B$ より小さいので,△より,$B$ は☆をみたさない.

P.A.(iii)より $0 eq f(k)$ なので,$(0,a)in B$ で(☆1)はみたされている.よって,$B$ は(☆2)をみたさない.つまり,ある $(h,z)inmathbb{N} imes X$ で $(h,z)in B$ だけど $(f(h),g(z)) otin B$ となる.ところで $(h,z)in B$ より $(f(h),g(z))in B$ で,$B$ から取り除いた元は $(f(k),y)$ だけだったから,$(f(h),g(z))=(f(k),y)$ である.P.A.(ii)より $f$ は単射だから $h=k$ となり,今 $kin C$ だったから $x=z$ となる.よって $g(x)=g(z)$ となるが,$g(z)=y$ と $y eq g(x)$ は矛盾する.

したがって $kin CRightarrow f(k)in C$ となる.

よって,P.A.(iv)より $C=mathbb{N}$ となる.つまり $p$ は単射である.

 

以上から $p$ は全単射で,逆写像 $p^{-1}$ が存在する.

$q: B o X$ を $q( (n,x) ):=x$ で定めて,$varphi:mathbb{N} o X$ を $varphi:=p^{-1}circ q$ とする.

つまり,$varphi(n)$ とは,$(n,x)in B$ となる $x$ のことである.

$p( (0,a) )=0$ より $varphi(0)=a$ である.

また,$varphi(k)$ まで定義されているとき $(k,varphi(k))in B$ より $(f(k),g(varphi(k)))in B$ より $varphi(f(k))=g(varphi(k))$ である.

つまりこの $varphi$ は定理の条件をみたしている.

 

今度は,このような写像がひとつしか存在しないことを示す.

$varphi$ と $varphi$ がともに定理の条件をみたしているとする.

$varphi=varphi$ となることを示せばよい.つまり,$forall ninmathbb{N}, varphi(n)=varphi(n)$ を示せばよい.

そこで,$D:={ninmathbb{N}midvarphi(n)=varphi(n) }$ とする.

$varphi(0)=a, varphi(0)=a$ より $0in D$ である.

$nin D$ のとき $varphi(f(n))=g(varphi(n))=g(varphi(n))=varphi(f(n))$ より $f(n)in D$ となる.

よって,P.A.(iv)より $D=mathbb{N}$ となる.$■$

 

この定理は便利なので後でよく使います.

 

さて,ペアノの公理をみたす $mathbb{N}$ の元を自然数と呼ぼうということでしたが,そのような集合がいろいろあったら困りますよね.思い浮かべてる自然数が人によって違ったら不便です.

でも,ペアノの公理をみたす集合は本質的にひとつしか存在しないということが次の定理によって分かり,安心できます.

 

定理2.$(mathbb{N},0,f)$ と $(mathbb{N},0,f)$ がともにP.A.をみたすとき,次のような全単射 $varphi:mathbb{N} omathbb{N}$ がただひとつ存在する.

 (i) $varphi(0)=0$ である.

 (ii) $varphi(k)$ まで定義されているとき $varphi(f(k))=f(varphi(k))$ である.

 

(証明)

$varphi$ の存在と一意性は,定理1で $X=mathbb{N},a=0,g=f$ とすればよい.

また,同じようにして,次のような写像 $varphimathbb{N} omathbb{N}$ の存在も分かる.

 (i) $varphi(0)=0$ である.

 (ii) $varphi(k)$ まで定義されているとき $varphi(f(k))=f(varphi(k))$ である.

さて,$A:={ninmathbb{N}midvarphi(varphi(n))=n }$ とする.

$varphi(varphi(0))=varphi(0)=0$ より $0in A$ である.

$nin A$ のとき $varphi(varphi(f(n)))=varphi(f(varphi(n)))=f(varphi(varphi(n)))=f(n)$ より $f(n)in A$ となる.

以上よりP.A.(iv)より $A=mathbb{N}$ となる.同様にして,${ninmathbb{N}midvarphi(varphi(n))=n }=mathbb{N}$ となる.

よって$varphi$ は $varphi$ の逆写像である.

したがって$varphi$ は全単射である.$■$

 

定義(自然数).ペアノの公理をみたす $mathbb{N}$ の元を自然数と呼ぶ.

 

さて,無事に自然数が定義できたので,今度は足し算を定義していきましょう.

そのために,まずは次の定理を見てみましょう.

 

定理3.各 $ninmathbb{N}$ に対して,次のような写像  $σ_{n}:mathbb{N} omathbb{N}$ がただひとつ存在する.

 (i) $σ_{n}(0)=n$ である.

 (ii) $σ_{n}(k)$ まで定義されているとき $σ_{n}(f(k))=f(σ_{n}(k))$ である.

 

(証明)

定理1で $X=mathbb{N},a=n,g=f$とすればよい.$■$

 

これは,$σ_{m}(n)$ で $m+n$ を定義しようという気持ちのものです.

そういう気持ちでこの定理を眺めてみると,(i)は $n$ に $0$ を足しても $n$ のままということを,(ii)は $n$ に $k$ の次の元を足すと $n+k$ の次の元と同じになるということを述べていると分かります.

では,この写像が普通の足し算っぽい基本的な性質をきちんとみたしてくれているか確認してみましょう.

 

定理4.任意の $l,m,ninmathbb{N}$ で次が成り立つ.

 (i) (結合法則) $σ_{σ_{l}(m)}(n)=σ_{l}(σ_{m}(n))$

 (ii) (交換法則) $σ_{m}(n)=σ_{n}(m)$

 (iii) (簡約法則) $σ_{l}(n)=σ_{m}(n)Rightarrow l=m $

 

(証明)

(i)

各 $l,minmathbb{N}$ に対して $A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid σ_{σ_{l}(m)}(n)=σ_{l}(σ_{m}(n)) }$ とする.

egin{eqnarray}σ_{σ_{l}(m)}(0)&=&σ_{l}(m)&=&σ_{l}(σ_{m}(0))end{eqnarray}

より $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき,

egin{eqnarray}σ_{σ_{l}(m)}(f(n))&=&f(σ_{σ_{l}(m)}(n))&=&f(σ_{l}(σ_{m}(n)))&=&σ_{l}(f(σ_{m}(n)))&=&σ_{l}(σ_{m}(f(n)))end{eqnarray}

より $f(n)in A_{l,m}$ である.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる.

 

(ii)

$A:={ninmathbb{N}mid σ_{n}(0)=σ_{0}(n) }$ とする.

当然 $0in A$ である.

また, $nin A$ のとき

egin{eqnarray}σ_{f(n)}(0)&=&f(n)&=&f(σ_{n}(0))&=&f(σ_{0}(n))&=&σ_{0}(f(n))end{eqnarray}

より $f(n)in A$ となる.

よってP.A.(iv)より $A=mathbb{N}$ となる.

また,$B:={ninmathbb{N}mid σ_{n}(f(0))=σ_{f(0)}(n) }$ とする.

$f(0)in A$ より $0in B$ である.

また, $nin B$のとき

egin{eqnarray}σ_{f(n)}(f(0))&=&f(σ_{f(n)}(0))&=&f(f(n))&=&f(f(σ_{n}(0)))&=&f(σ_{n}(f(0)))&=&f(σ_{f(0)}(n))&=&σ_{f(0)}(f(n))end{eqnarray}

より $f(n)in B$ となる.

よってP.A.(iv)より $B=mathbb{N}$ となる.

さて,各 $ninmathbb{N}$ に対して $C_{n}:={minmathbb{N}mid σ_{m}(n)=σ_{n}(m) }$ とする.

$A=mathbb{N}$ より $0in B_{n}$ である.

また,$min B_{n}$ のとき

egin{eqnarray}σ_{f(m)}(n)&=&σ_{σ_{m}(f(0))}(n)&=&σ_{m}(σ_{f(0)}(n))&=&σ_{m}(σ_{n}(f(0)))&=&σ_{σ_{m}(n)}(f(0))&=&σ_{σ_{n}(m)}(f(0))&=&σ_{n}(σ_{m}(f(0))&=&σ_{n}(f(m))end{eqnarray}

より $f(m)in C_{n}$ となる.

よってP.A.(iv)より $C_{n}=mathbb{N}$ となる.

 

(iii)

対偶「$l eq mRightarrow σ_{l}(n) eq σ_{m}(n) (ninmathbb{N})$」を示す.

$l eq m$ なる $l,minmathbb{N}$ を任意にとり,$A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid σ_{l}(n) eqσ_{m}(n) }$ とする.

まず,$σ_{l}, σ_{m}$ の定義から $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき $f$ は単射だから $f(σ_{l}(n)) eq f(σ_{m}(n))$ つまり $σ_{l}(f(n)) eq σ_{m}(f(n))$ となり $f(n)in A_{l,m}$ となる.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる. $■$

 

定義(自然数の和).$σ_{m}(n)$ を $m $ と $n$ の和と呼び,$m+n$ と略記する.

 

これでようやく胸を張って自然数の足し算を扱えるようになりました.

同じように自然数の掛け算も定義してみましょう.

 

定理5.各 $ninmathbb{N}$ に対して,次のような写像 $pi_{n}:mathbb{N} omathbb{N}$ がただひとつ存在する.

 (i) $pi_{n}(0)=0$ である.

 (ii) $pi_{n}(k)$ まで定義されているとき $pi_{n}(f(k))=σ_{n}(pi_{n}(k))$ つまり $pi_{n}(k+1)=pi_{n}(k)+n$ である.

 

(証明)

定理1で $X=mathbb{N}, a=0, g=σ_{n}$ とすればよい. $■$

 

これも,$pi_{m}(n)$ によって積 $mcdot n$ を定義したいという気持ちの定理です.

では,最後にこの写像が自然数の掛け算っぽく振る舞ってくれることを確認しましょう.

(もう足し算は普通に扱えることになったので,面倒なので+という記号を使います.

また,$f(0)$ のことを $1$ と略記します.)

 

定理6.任意の $l,m,ninmathbb{N}$ で次が成り立つ.

 (i) (分配法則) $pi_{l}(m+n)=pi_{l}(m)+pi_{l}(n)$

 (ii) (結合法則) $pi_{pi_{l}}(m)(n)=pi_{l}(pi_{m}(n))$

 (iii) (交換法則) $pi_{m}(n)=pi_{n}(m)$

 

(証明)

(i)

各 $l,minmathbb{N}$ に対して $A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid pi_{l}(m+n)=pi_{l}(m)+pi_{l}(n) }$ とする.

$pi_{l}(m+0)=pi_{l}(m), pi_{l}(m)+pi_{l}(0)=pi_{l}(m)+0=pi_{l}(m)$ より $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき

egin{eqnarray}pi_{l}(m+(n+1))&=&pi_{l}*1+l&=&pi_{l}(m)+(pi_{l}(n)+l)&=&pi_{l}(m)+pi_{l}(n+1)end{eqnarray}

より $n+1in A_{l,m}$ となる.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる.

 

(ii)

各 $l,minmathbb{N}$ に対して $A_{l,m}:={ninmathbb{N}mid pi_{pi_{l}(m)}(n)=pi_{l}(pi_{m}(n)) }$ とする.

$pi_(pi_{l}(m))(0)=0, pi_{l}(pi_{m}(0))=pi_{l}(0)=0$ より $0in A_{l,m}$ である.

また,$nin A_{l,m}$ のとき

egin{eqnarray}pi_{pi_{l}(m)}(n+1)&=&pi_{pi_{l}(m)}(n)+pi_{l}(m)&=&pi_{l}(pi_{m}(n))+pi_{l}(m)&=&pi_{l}(pi_{m}(n)+m)&=&pi_{l}(pi_{m}(n+1))end{eqnarray} 

より $n+1in A_{l,m}$ となる.

よってP.A.(iv)より $A_{l,m}=mathbb{N}$ となる.

 

(iii)

まず $A:={ninmathbb{N}mid pi_{0}(n)=0 }$ とする.

当然,$0in A$ である.

また,$nin A$ のとき

egin{eqnarray}pi_{0}(n+1)&=&pi_{0}(n)+0&=&0end{eqnarray}

より $n+1in A$ となる.

よってP.A.(iv)より $A=mathbb{N}$ となる.

また,各 $ninmathbb{N}$ に対して $B_{n}:={minmathbb{N}mid pi_{n+1}(m)=pi_{n}(m)+m }$ とする.

当然,$0in B_{n}$ である.

また,$min B_{n}$ のとき,

egin{eqnarray}pi_{n+1}(m+1)&=&pi_{n+1}(m)+(n+1)&=&(pi_{n}(m)+m)+(n+1)&=&(pi_{m}(n)+n)+(m+1)&=&pi_{n}(m+1)+(m+1)end{eqnarray} 

より $m+1in B_{n}$ となる.

よってP.A.(iv)より $B_{n}=mathbb{N}$ となる.

さて,各 $ninmathbb{N}$ に対して $C_{n}:={minmathbb{N}mid pi_{m}(n)=pi_{n}(m) }$ とする.

$A=mathbb{N}$ より $0in C_{n}$ である.

また,$min C_{n}$ のとき,

egin{eqnarray}pi_{m+1}(n)&=&pi_{m}(n)+n&=&pi_{n}(m)+n&=&pi_{n}(m+1)end{eqnarray} 

より $m+1in C_{n}$ となる.

よってP.A.(iv)より $C_{n}=mathbb{N}$ となる. $■$

 

定義(自然数の積).$pi_{m}(n)$ を  $m $ と $n$ の積と呼び,$mcdot n$ や $mn$ と記す.

 

これで自然数の掛け算も使えるようになりました.

自然数には他にも大小関係とかいろんな構造が入っているので,暇なときに考えてみると楽しいかもしれません.

 

最後に,講演会で話したやつ(高校生向けに,自然数を $1$ からスタートした)のノートを置いておきます. 

(ドロップボックスのアカウント持ってないと見れないかも)

www.dropbox.com

 

参考文献

彌永昌吉(1972) 『数の体系(上)』 岩波新書.

 

 

*1:m+n)+1)&=&pi_{l}(m+n)+l&=&(pi_{l}(m)+pi_{l}(n

 

想像してください、夜のミドリムシを。

 

ミドリムシは、太陽の光を受けて光合成し、

生きるのに必要な栄養成分を得ているのです。

 

動物にも「夜行性」というのはいますが、

人間は「夜行性」ではありません。

太陽の光を浴びて、健康でいられるのです。

 

本来の生き方に反して、「夜行性」となってしまった人間は、

一体どうなるんでしょう・・・

 

今日は一日、珍しく◯藤さんのお宅には自動車が停まっていました。

ミドリムシのような、旧型マーチです。

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ミドリムシは動物性と植物性、両方の性質をもっているんですね。

野菜も肉も足りていない日本人に、ぴったりの食材ですね。

しかも、送料無料とは(↓) 

送料無料お試し980円ユーグレナの緑汁

 

これを食べれば、◯藤さんも、あんなに怒り狂うこともないのに・・・

と思いつつ、注文してしまいました(*^_^*)

 こんなにいいもの。売り切れる前に、試してみよっ。

 

話題の栄養豊富な新商品「ユーグレナ・ファームの緑汁」送料無料!お試し980円

 

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スクエニから本日公開

歴代主人公がでてくる

スターオーシャンアナムネシスの

オープニング映像が公開されました

スターオーシャンシリーズ初の

アプリ作品ということで

ボーカルも入って気合いが入っています

テンション上がる歌で盛り上がりますね( *´艸`)

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